數學實驗

漫無目的地學習多半學了就忘。學習應該以解決問題為導向。

「手算」是問題能否上手的重要指標。但手算與程式化仍有極大差異。

當培養解決問題的能力時，關鍵性本質性的部分要自己解決，不應該用他人準備好的。

以不同方式計算 $\pi\approx 3.1415926 \cdots$

圓內接正 n 邊形週長 $\displaystyle\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 2\pi$ , 即 ${\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sin({\pi\over n})\cdot n = \pi$ , 不過這只是符號上的關係，不會算 $\sin({\pi\over n})\cdot n$ 仍是空談。所以我們用 sin 的半角公式從 $n=4$ 出發，邊數 doubled。maple code
$\arctan(x) = x -{x^3\over 3} +{x^5\over 5} -{x^7\over 3} +{x^9\over 9} - \cdots\,\cdots$ ， -----（＊），
則 $\arctan(1)$ 收斂得很慢，因為上面的式子是 $\arctan(x)$ 對 0 的展開式，收斂域為 $[-1,1]$ 。所以你應該代一個距離展開點比較近的點，例如：根據簡單的平面幾何或半角公式， $\tan{\pi\over 8}={1\over 1+\sqrt{2}}<{1\over 2}<1$ ，所以 ${\pi\over 8}=\arctan\left({1\over 1+\sqrt{2}}\right)$ 。但你會手算 ${1\over 1+\sqrt{2}}$ 嗎？maple code
由二項式展開可得
${d~\over dx}\arcsin x = {1\over\sqrt{1-x^2}} = 1-{{-1/2}\choose 1}(x^2)^1+{{ -1/2}\choose 2}(x^2)^2-{{-1/2}\choose 3}(x^2)^3+\cdots,$ $\begin{array}{ll}\displaystyle \therefore \arcsin x &= \int \left( 1-{{-1/2}\choose 1}(x^2)^1+{{ -1/2}\choose 2}(x^2)^2-{{-1/2}\choose 3}(x^2)^3+\cdots \right)\, dx \\ &= x+{\frac {1}{6}}{x}^{3}+{\frac {3}{40}}{x}^{5}+{\frac {5}{112}}{x}^{7}+{\frac {35}{1152}}{x}^{9}+{\frac {63}{2816}}{x}^{11}+\cdots\,\cdots\end{array}$ 所以 ${\pi\over 6}=\arcsin{1\over 2}$ 比 $\arctan(1)$ 收斂得快。 maple code
根據（＊）以及和分角公式 $\displaystyle\tan(\theta+\phi)={\tan(\theta)+\tan(\phi)\over 1-\tan(\theta)\tan(\phi)}$ ，先給出特殊的小有理數 $q_1:=\tan(\alpha)$ ，可以找到 ``最接近 $\pi\over 4$ 的 $n\alpha$ '' 然後令 $\beta = {\pi\over 4} -n\alpha$ ，則 $q_2:=\tan(\beta)$ 是一個小有理數， ${\pi\over 4}=n\alpha+\beta=n\cdot\arctan(q_1) +\arctan(q_2)$ ，可全部以簡單的四則運算進行估計。例如，先說定 $\alpha := \arctan{1\over 2}$ , 如果令 $\beta := {\pi\over 4}-\alpha$ , 則 $\tan(\beta) = {1-{1\over 2}\over 1+1 \cdot \frac{1}{2} }={1\over 3}$ ，即 ${\pi\over 4}=\alpha + \beta = \arctan{1\over 2} + \arctan{1\over 3}$ ；如果令 $\beta := {\pi\over 4}-2\alpha$ ，則 $\tan(2\alpha)={2\cdot{1\over 2}\over 1-(\frac{1}{2})^2}={4\over 3}$ ， $\tan(\beta) = {1-{4\over 3}\over 1+1\cdot\frac{4}{3}}={-1\over 7}$ ，即 ${\pi\over 4}= 2\alpha + \beta = 2\arctan{1\over 2} - \arctan{1\over 7}$ 。雖然數學上 $1\cdot\arctan{1\over 2} + \arctan{1\over 3}$ 和 $2\cdot\arctan{1\over 2} - \arctan{1\over 7}$ 都等於 ${\pi\over 4}$ ，但是用 (＊) 算 $\arctan{1\over 7}$ 比算 $\arctan{1\over 3}$ 收斂得快。
maple code 現在請你試取更小的 $q_1$ $\left({1\over 4},{1\over 5},{1\over 6},\cdots\right)$ 找出最佳對應的倍數 $n$ 與 $q_2$ 。
所謂 Monte Carlo 法就是以隨機數的方式解決數學問題。例如，我們可以在 $1\times 1$ 方塊畫上四分之一單位圓，然後在方塊上隨機地取 $m$ 個點，數落在圓內的點數 $n$ ，則當點數增加時， ${\pi\over 4}\approx{m\over n}$ 。 maple code
現在請你設計其他的 Monte Carlo 法估計 $\pi$ 。

用定積分估計：例如：

${\pi\over 4} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$ ，	來自四分之一圓面積
${\pi\over 2} = \int_0^1 {1\over\sqrt{1-x^2}}\,dx$ ，	來自 $\arcsin(1) - \arcsin(0) = \int_0^1 {d~\over dx}\arcsin x \,dx$
${\pi\over 4} = \int_0^1 {1\over 1+x^2}\,dx$ ，	來自 $\arctan(1)-arctan(0)=\int_0^1 {d~\over dx}\arctan x \,dx$ maple code
$\vdots$

你可以想出比較好算的定積分嗎？

「Monte Carlo 法」之 Buffon 投針法 (西元1777年)
在平面上有許多平行線，最短距離為 $d$ ，投擲長度為 $\ell$ ( $\ell < d$ ) 的直針。若投擲直徑為 $d$ 的鐵圈 $n$ 次，則相交的次數必為 $2n$ ，故投擲長度為 $\pi d$ 的直針交點數的期望值應為 2。若投擲長度為 $\ell$ 的直針 $n$ 次相交的次數為 $m$ ，則依照比例原則， ${\pi d : \ell} \approx {2n : m}$ ，所以為 $\pi \approx {2\ell n\over d m}$ 。 maple code
以有理數給出近似值。南北朝祖沖之已經給出 $\frac{333}{106}$ 、 $\frac{355}{113}$ 了。而以連分數逼近 $\frac{333}{106}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15}}$ 、 $\frac{355}{113}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1}}}$ 比「固定分母找分子」的有理數逼近來得有效率。你可以證明任何無理數一定可以用連分數逼近嗎？
音律是人訂的。將一個八度（頻率兩倍）做 12 音分，即所謂的 Do . Re . Mi Fa . Sol . La . Si Do，然後每個音分皆等倍，例如，Do 到 Re 有兩個音分，所以將 Re 頻率訂為 Do 的頻率乘以 $2^{2\over 12}$ ，這種就是所謂的「巴哈十二平均律」。請問古人所訂的「純律」(音頻比為簡單整數比)，是否接近後訂的「十二平均律」（無理數）？請你試著以連分數做一次。小蜜蜂

數列，除了用遞迴公式生成外，有沒有辦法直接生成？例如，兔子數列 (Fibonacci sequence) $a_1=1,a_2=1, a_{n+2}:=a_{n+1}+a_n$ 的通式 $a_n :=a_n(n)$ 是什麼？所謂數列遞迴式的「特徵多項式」(characteristic polynomial) 與「生成函數」(generating function) 又有什麼關聯？請你多算幾個例子觀察一下。
「窮舉」，聽起來很簡單，你會做嗎？ {1,2,...,n} 任選 r 個， (一) 窮舉所有組合 (二) 窮舉所有排列。
在平面上任意標出 1 到 n 點，若依序畫折線且頭尾相連求 (一) 位置向量掃出的面積 (二) 最外框框出的面積 (三) 凸包的面積。
克普勒行星運動三大定律 <===> 牛頓萬有引力公式
光的最速逕性質、Snell定律、落體的最速逕 -> 變分法, 單擺及擺線
微分 -> 微弧長 -> 張力 -> 靜力平衡 -> 懸鏈線
Koch 曲線、Minkowski腸、Sierpinski 三角、龍曲線、樹
Bezier 參數曲線參數曲面

數學實驗

漫無目的地學習多半學了就忘。學習應該以解決問題為導向。

「手算」是問題能否上手的重要指標。但手算與程式化仍有極大差異。

當培養解決問題的能力時，關鍵性本質性的部分要自己解決，不應該用他人準備好的。

以不同方式計算

將問題量化，僅以四則運算解決，可謂 反璞歸真，萬流歸宗

以不同方式計算 $\pi\approx 3.1415926 \cdots$

將問題量化，僅以四則運算解決，可謂反璞歸真，萬流歸宗