過去的學習經驗談我對於數學教學的看法

                                 張馨尹

從小學階段到大學階段，在不同時期中，數學對我而言，有不同的感受。

小學時，覺得數學並不難，因此總覺得只要看課本學就可以懂了；認為計算題只要計算機按一按就可以很精確的算出答案來，實在搞不懂老師為什麼回家作業要出一堆計算題，來「浪費」我們的時間呢？

中學時，解X、Y的問題，屢戰屢敗的經驗讓我覺得自己好像數學白痴。數學對我而言，是一堆永遠只能在老師解答案後的讚嘆，以為數學要學得好，做的題目要夠多，記憶能力要夠好，才能「看到什麼題型，就知道要用什麼方法」。

高中時，到一家知名的補習班補數學，抱的心態是：「大家都去補數學，我也應該要去補。」老實說，國中數學成績老是墊後的我，起初，對於高中數學並沒有想力挽狂瀾的決心，不過我還是很認真的，不論在學校或補習班，都很仔細的聽講。就在一次數學大考中，我意外的成為班上最高分的人，之後的幾次小考亦是如此，我才開始在分數的回饋中得到對數學的信心。

追究我在數學上「意外突變」的成長，補習班老師的教學方式，帶給我學習數學的樂趣，是最大的主因。老師常常在揭示題目後，語帶豐富的感情及熱情的問我們：「你們看到這一句話，會想到什麼？有什麼衝動？」每每讓我感受到，數學的思考，就像是你看到好山好水，心中會起了一波波的漣漪，而忍不住想要讚美一番，這樣的動作，是那麼樣的自然、單純。另外，由簡到難，也是老師教學時會注意到，但老師更會注意由簡到難中，概念上的連接，常常會有一段小小的落差，一個數學領悟力高的學習者，可能一下就可以跨過；但，相對的，數學領悟力較弱的人，若在此這個點跨不過去，就可能成為學習接下來的課程中的絆腳石。因此老師很注重「比較」：將兩個相似的題目或概念放在一起，引導我們思考，究竟有何「相同」與「不同」的地方，如此以我們所熟悉的相同點的基礎上，來觀察不同點，並找出之間的關連，這樣難中有易的方式，讓我覺得自己好像是個「偵探」，在各種線索中一絲一絲的抽絲剝繭，體驗到思緖跳躍在各種線索中的樂趣，和因為自己不斷動腦後雲霧漸開的興奮，那真是一種充滿了學習及成長的喜悅。

升大學時，我以這樣活潑的思考態度來學習微積分、統計，成績表現都還不錯。原以為我學習數學的快樂體驗，將在二年級統計學完後畫下休止符，沒想到在大四學程三的課程中，因為選修了「功課一級多」的老師－林宜臻教授的數學教材教法課程後，再次將我對數學的熱情，持續的加溫。

從教材教法課程中認識「形成性評量」

在宜臻教授的引領之下，我們不僅認識了老師對數學教學的幾項重要概念「形成性評量在課堂中落實」、「讓孩子在課堂中思考數學本質概念」。我們在老師的指導下，整個學期有相當多次的練習，透過小組討論實作設計教學活動設計，並進入學校進行教學，從孩子們積極的想要反駁我們的「錯誤假設」中，我們隱隱可以感受得到－孩子對於這樣一個帶有一些挑戰，要求得不斷思考的課程進行方式，反應出來的學習態度是蠻積極、有興趣參與的，讓我們隱約可以想像到一股輕快的數學樂章，正在他們的小腦袋裡，奔放的流動著。

過去的學習中，老師教加法時，就是單刀直入的告訴我們「累十進一」的「技巧」；教分數的除法時，就是要我們記下「除數先倒過來後，除變乘」。從來都沒有人帶著我們思考，為什麼會是這樣？我們全部都是被灌輸最精簡化的東西，至於最衷於數學原味，甚至於是最有趣的探索過程，卻都被老師「善意」的棄於一旁。

宜臻教授還訓練我們，深入的了解、預測學生的迷思概念，將孩子的迷思概念以「正誤區辨」的方式，做為課程設計的一部份，這一點也與過去的數學教學方式有很大的不同。過往，老師們都是在學生考試或作業中，發現有問題了，才提出學生易犯錯的概念；宜臻教授則是巧妙的在教學中，以學生易犯錯的部份，做為教學的素材，藉此加深學生的印象，幫助學生更清楚的掌握住什麼樣才是完整、正確的概念。我很喜歡設計這樣的問題，雖然對我一位生手而言，並不是那麼容易，但我喜歡那種挑戰自己的思維，點子不斷在腦中跳動的感覺，真是有意思！

「老師不要同時為佈題者和解題者」，這一點也是宜臻教授不斷強調的，我自己也深深為這個想法所吸引著。常期以來，數學科教學常見老師像是一個統領數學的天王，學生上課時噤若寒蟬，因為得仔細聆聽老師像佈道一般的解題方式，學生的聲音，永遠是在進行練習題（相似題）演練中才會獲得重視。但宜臻教授卻十分重視學生在課堂中的聲音，學生可以告訴老師他們的想法，甚至是「指揮」老師怎麼樣解題才對。老師將建構知識的權力，還給了孩子。老師像是一名助產婆，協助學生們將小腦袋瓜中蘊藏的智慧小寶寶給擠出來。數學的道理不難，學生或多或少都能抓到一些概念，也許這些概念並非完整，但唯透過學生自己解題，孩子才有可能在課堂中，不斷的進行思考。我也深信，能夠說出來的想法，才是思考後內化的想法，這樣的想法才會記得牢；唯有經過思考後的知識，才是真正的智慧。

此外，宜臻教授也鼓勵我們帶領孩子從「數學本質概念」中認識數學。不過，由於自己在小學階段學習這些概念時，並沒有經驗過這樣的方式，在沒有經驗法則可遵循的情況下，每一次小組設計教案時，小組成員常為了確定彼此對本質概念的想法是正確且一致的，而得花相當長的時間來討論、辨證。因此，我深深的感覺到，在一開始嘗試以「形成性評量」進行課程設計時，有一個充滿支持氣氛的討論小組，一起共事、實驗，是相當關鍵性的。一個人的意見或想法，容易造成偏頗，二個人以上的小組，正好可以透過不斷的對話，讓觀念愈釐愈清，也因透過他人的回饋，自己得以在教學之前，做一番審視，避免在教學時產生不必要的問題。

宜臻教授的作業中，規畫我們採訪在職老師，藉此了解「學生的數學迷思概念為何」。如此從側面了解學生學習數學時的狀況，我想對於在師資培訓中的職前老師而言，是相當重要的。畢竟，我們還沒有真正沒走入教學，對學生的了解有限，在思考「學生的數學迷思概念為何」時，除了從自己過去的學習經驗中，及自己的推論中找出來，老師提供給我們的訊息，就顯得格外重要。

在龍安國小以「形成性評量」進行數學教學

真的到了自己成為實習老師，在觀摩了我在龍安國小的實習輔導老師－莊老師的教學一個月後，我也開始上臺教數學。一開始我並沒有以「形成性評量」的方式教學，一方面是自己沒有獨立作業嘗試的勇氣，一方面也是因未與莊老師討論是否能接受這樣的教學方式。很幸運的是，獨自摸索了一陣子後，在宜臻教授的指導和莊老師的包容、同意下，我和另外三位實習夥伴，開始嘗試著採協同的方式，以形成性評量的精神，來設計接下來的課程。

以下，我針對自己以一個實習老師的角色，來進行「形成性評量的教學」方法，將這段期間，我對個人在設計教案、教學的過程、對學生的觀察曾有過的疑惑條列出來，並針對這些疑惑，將在此期間受到宜臻教授、莊老師的指導後，把我個人的省思列述如後。

一、小組討論在一年級中應幾人進行較為恰當？

宜臻教授的教學模式中，「小組討論」是她相當重視的活動。透過小組討論，小組成員可以一同分享對問題的看法：在說出自己的想法後，可以透過他人的回饋來確認或提醒錯誤；在聽別人的想法時，自己可以以別人為鑑，反觀自照自己的想法是否無誤，或以別人相當清晰、正確的想法，來幫助自己的想法更加的完整。

在小組組成人數上，宜臻教授認為三至四人是較恰當的人，因為小組討論時，若只有兩個人互相討論，可能會發生其中一人無話可說時，另一人也無法從他人想法中學習；不過，若小組成員高達六人，卻可能為了要讓每個人發言，而必須占用課堂上相當多的時間。在以上兩項考量之下，「四人小組」成為一個最佳的小組討論人數。但是，由於一般在國小中，開始有較正式的討論活動，大都是從國小三年級開始，普遍大家對於國小一年級，是否有能力參與討論活動，卻沒有實驗得知，因此，在莊老師的同意、支持下，我的班上嘗試著以二人小組及四人小組的方式進行數學教學。

實驗後我們發現，可能是因為低年級孩子處在「前運思期」末期或「具體運思期」前期，自我中心還是太重，即使我們不斷在教學過程中，曾經試著引導他們進行四人小組的分享，但就我的觀察，孩子似乎只有在碰到較簡單或封閉式的問題，四人小組運作才會明顯的啟動；至於其它較複雜，需要不斷思考才能得到想法的問題，就沒那麼受到孩子們的眷顧，討論的氣氛就不是那麼熱烈了。倒是，二人小組的運作，由於人數少，兩人彼此分享、聆聽的時間相對縮短，孩子投入討論的情況反而較為熱烙。

最後，我們決定暫時「接納」他們似乎較能運作「二人小組」的事實，後來的各科教學（包括非數學），我們也常利用「二人小組」來進行討論和分享。只是，有一些學生的反應，倒還是值得我們再深思的，由於孩子們各別狀況的差異：或因聽障孩子口語表達能力，聆聽能力不佳；或因少部份孩子的語文能力表達不佳；或因孩子過於自負，不願聽別人的分享。以上的問題，都是在進行「二人小組」討論時，得靠老師的班級經營及輔導的智慧來克服，老師不妨把握在初次向學生介紹「二人小組」的討論模式時，應該要特別注意，並給予學生鼓勵。

二、小一上學期「數」的認識只教到「數到二十」，難道學生的能力和認知，真的只能到此嗎？

由於大部分的小朋友在學齡前都已會從1數到100，也大都具有看到數字後讀出數字的能力，因此，在學生開學沒多久，學會1到10的概念後，我們在即將進入「我會數到20」這個單元時，宜臻教授提出「如果學生對於數字的認識，已經具備有位值概念了，他其實就可以認識20―99的數字了。」因此，我們在設計這個單元時，刻意以認識位值概念的方法切入認識數字。從學生實做和討論的狀況，以36為例；我們發現，學生不僅是能讀，還能說出36中，3代表3個長條(1個長條表示10個1)，6代表6個小方塊(1個方塊代表1)，他們確實是有能力接受20以上的數字，並了解它在「量」方面的意義。

同樣的，這個學期「這是什麼形狀」單元中，我們也是以相較課本的程度，再度提高對學生能力的信心，請孩子比較說出各別形狀的構成要素(外觀)。教學結果，孩子的反應同樣符合我們原先的推測。

我不諱言，在這樣的嘗試以「提高對孩子能力的認知」的教學，在一開始確實讓我有些憂心，雖然我知道對接近百分之百的孩子而言，他們是可以以較輕鬆的方式，面對我們所設計的教學，但，我仍然對於那少數(可能是2個，也可能是3個、4個，甚至於５個)可能受限於語文，或過去的學習經驗，而無法掌握這些相較於他們的程度，可能較難的問題，倘若我真的忽略掉這些孩子的需要，那麼我這樣提升問題的層次，多數孩子雖然可以跟得上我們的腳步，但那少數的孩子該怎麼辦呢？

後來宜臻教授告訴我，我們在教學流程中「關係洞察」後，還要進行「正誤區辨」、「概念再製」、「概念應用」的步驟，目的就是要了解學生的學習狀況，找出到底孩子在學了之後，是否有吸收，若發現學生有學習的困難，教師便要再省思自己的教學，再針對全班共同問題或個別問題，給予全班的再教學或個別指導教學。

老師的指導，讓我了解到，老師視整班的普遍能力設定課堂目標的同時，也要特別注意個別差異的孩子。我們可以試著以實際狀況，推判學生可提升的能力程度並進行教學，但倘若少部分學生真的無法達到該能力，我們至少要讓他們達到課本上指定應發展的基本能力。

三、其它學科的教學過程都有一定程序（如：引起動機、發展活動、綜合活動），那麼數學科的程序又是什麼呢？

初以「形成性評量」進行數學教學，在安排課程教學流程時，常將注意力放在－是否有將該課的目標按難易度做應有的順序分配。就這樣，我們的教案變成似乎是一個概念、接著一個概念的認識，總覺得似乎少了些系統化的教學程序。最令我們不安的是，在教學後，學生雖然已初步認識數學的本質概念，但究竟學生是否真的吸收所授的概念，我們卻無從得知。

所幸，宜臻教授再度給予我們一個方向，告訴我們每一個數學概念的教學流程可採四個步驟：「關係洞察」、「正誤區辨」、「概念再製」、「概念應用」。

(一)「關係洞察」：這是認識本質概念的重要階段。

(二)「正誤區辨」：緊跟在「關係洞察」後，為了要讓學生確定自己是否已經有清楚、完整的概念與否，而以學生可能有的「迷思概念」，設計問題情境讓學生思考。

(三)「概念再製」：設計同上兩步驟的類似題，再次供學生思考並複製已學會的概念。

(四)「概念應用」：此部分重視與生活經驗（活用）連結，藉此培養學生以數學解決生活問題的素養。

四、以「形成性評量」進行數學教學的四個步驟，每個步驟都一定要在課堂當中呈現嗎？

當我以四個步個驟的方式設計「這是什麼形狀」單元時，發現透過「關係洞察」就可以帶領學生認識形狀的組成要素，透過「正誤區辨」就可以帶領孩子仔細的以形狀的組成要素，來判斷所見的形狀是否符合特定形狀應有的組成要素；似乎學生經由以上兩個步驟，就可以達到學習目標了，那，接下來「概念再製」、「概念應用」還要再進行嗎？我開始思考，難道這四個步驟，每個步驟都是缺一不可嗎？如果在前兩項步驟就可以確定學生已能充分了解本質概念，其餘未做的步驟還是得繼續進行嗎？

經由宜臻教授的解惑，我知道前兩個步驟「關係洞察」、「正誤區辨」是相當關鍵性的步驟，少了一個步驟，就很難確切的掌握學生的理解狀況，但後兩個步驟的彈性就多了點。若有把握前兩個步驟後學生就能達到教學目標，後兩個步驟是可以省略；但若數學概念是較複雜的，則還是得透過四個完整的教學步驟才能達到完整的教學目標。當然，有時僅做一、二、四項流程的彈性做法也是可以被接受的。總之，一切的衡量標準還是以「達到教學目標」為依歸。

五、什麼樣的題目／概念該用小組討論？什麼樣的題目／概念該用小黑板？什麼樣的題目／概念直接用比手勢或做動作的方式表示答案或想法？

【老師直接告知】－遇到由社會「約定俗成」的概念或習慣時，由老師直接告知學生。例如以下舉例就是可以直接由老師告訴學生：“＋”念作「加」。１００不念成「十零」而是念作「一佰」。長短針的命名。

【小組討論】－遇到與數學「本質概念」有關的問題，特別是在一開始概念形成階段，包括「關係洞察」、「正誤區辨」往往都必須透過小組討論，讓學生彼此檢核想法，進而模仿、修正、確認想法。

【小黑板】－若該問題，對老師而言有極重要的判別價值，需要特別了解究竟學生有什麼樣不同的想法，或究竟有哪些學生觀念還不正確，就可以透過學生將答案寫在小黑板的方式檢測出來。而在這裡強調的是，書寫個人小黑板的優點是，老師可以透過學生舉牌揭示答案的速度，來判別學生概念的清楚與否或熟練度，因此，當老師要特別確認有「哪幾位」學生有學習問題時，特別適合採用此法。

【手勢／動作】－由於手勢／動作具有快速反應學生想法的優點，因此，若問題僅是要簡單的了解學生普遍性回答狀況，尚不遷涉重要的評量考核時，可以利用此法。

六、學生分享完想法後，接下來是由老師直接公佈答案，告訴學生「他說對了／錯了」嗎？

若有學生說法錯誤，或偏離老師所想要的答案，可以再反問學生「還有沒有不一樣的想法？」「你同意他的說法嗎？你的想法是什麼呢？」或以「你的想法和他不一樣／一樣」的人請舉手的方式，來取得全班的共識。以上的方法，都必須視問題及學生的回答狀況來選擇。

在我們班上，我可以感覺到，當你以這樣詢問、徵求孩子意見的方式了解學生的想法時，孩子參與討論的氣氛都相當的不錯，這樣一個充滿「信任」、「尊重」的情境，比老師直接告訴學生「正確答案」的方式，更有助於鼓舞學生養成在課堂中思考數學的習慣。

不過採用此法，最大的缺點是（我實在不太想要說它是缺點），有時必須要花較久的時間，才能凝聚全班的共識找出最佳的答案；但，我仍認為，唯有經過思考後內化的知識，才能成為真正理解其要意的智慧，並能從中培養表達、溝通、分析的能力，這才是帶得走的數學能力。

七、為什麼有時學生老是無法說到我要的答案？

剛開始上臺教學時引導了半天，學生的答案卻連摸到解答問題核心的邊緣都沒有，甚至於話題還岔離了數學本身的問題。後來經過莊老師及宜臻教授的指正，了解這樣的狀況常與老師對於「目標掌握不清」、「問話設計不佳」有關。

以小一課程「我會數到20」單元，題目要求「數一數蘋果有幾個，並將１０個圈起來」，老師若問「為什麼我要把10個圈起來」，不若問「10個圈起來有什麼好處」來的好，後者很清楚的直接切入關鍵點，請學生從「優點」來思考，了解「10」個圈起來的意義。

這個部分，可能也是實習老師受限於教學經驗，在掌握問話的精神上還不純熟的緣故。可喜的是，我發現，當我愈常看其他老師、實習老師的教學狀況，從他們的優點中「取經」，從缺點中「反觀自己」，自己成長的機會就會相對提高。

八、老師已傳達活動指令了，為什麼有人仍無法正確操作？

「形成性評量」的數學教學活動中，蠻重視學生透過操作的經驗，從操作中啟動學生主動思考，建構數學的意義。對於我這個教學新鮮人而言，要在不是很純熟的班級經營技巧下，從事活動性的教學，是有壓力的。特別是面對學生不專心聆聽活動步驟，以致不知道該如何參與接下來的自行／小組操作活動，這種孩子，真是會把我心中的「大魔鬼」喚出來，真想抓他出來打屁股。

不過，後來當我開始在每次進行活動前，點幾個學生複述我剛才所說的活動注意要項，總算把那些可能在第一次講解時比較不專心的孩子的注意力，給拉了回來，使我的教學活動更加的順利。

九、學生上課時不專心怎麼辦？

剛開始進行數學教學時，我總覺得學生上課時的專注度不是很好，是不是我上課中沒有遊戲，或者是我的技巧不足，宜臻教授一句話：「我們要用一個緊扣數學本質概念的教學設計來抓住孩子的心。」又帶給我一番省思。

老師認為在「形成性評量」的數學教學模式下的教學，孩子是可以受問話和佈題的情境所吸引。當老師設計了一個富「形成性評量」概念的題目，孩子參與的興趣是容易被引發的。老師告訴我的話，我聽進去了；後來，當我愈努力去思考數學的本質概念，所設計出來的教學，確實似乎也愈能引起學生參與課堂的意願。

不過，孩子是好動的，有經驗的老師都懂得善於利用班級經營的技巧，來避免孩子分心－例如在老師發下操作教具前，事先提醒學生沒有老師說動手就不可以碰，不守約定就會被沒收；課堂中用不到或晚一點才要用到的教具，就別太早請學生拿出來或發給學生，讓他們可以減少誘惑物的刺激。

十、我對於數學本質的概念是正確、是完整的嗎？

由於這樣的課程設計非常重視「數學本質概念」，教師是否能充分掌握數學本質概念就十分的重要。但往往教學指引中的內容有限，且又常是單一年段的分析，這樣的結果，教師無法看到課程綜向的連貫性。倘若教師無法掌握到數學「完整」的本質概念，那麼可能無法很完整掌握到教學目標，並知曉他在國小階段所占有的重要性為何。

所幸「教師研習會」網站內的數學部分，包括宜臻教授所架設的網站「林宜臻的數學園地」，提供相當豐富的資訊，讓我們有一個可以參考、瀏覽的豐富寶庫。當然資料有了，剩下來的功夫就是得由我們自行消化吸收啦！

九、以為學生都了解了，但學生期末小考考卷答題表現卻不佳？

我原來想，既然我已照著宜臻教授所說的「四個步驟」進行教學，從學生的反應，班上孩子的數學應該不會有什麼大問題。豈料，從學生期末考前的小考測驗卷中，我還是發現部分學生學習狀況並不好，讓我始料未及。

在與莊老師討論過後，初步排除我教學設計的問題，一方面可能與這些學生上課較不專心有關，另一方面可能是因每一單元上完後，就緊接著上下一單元，中間並無整合複習或測驗的機制。在「我學了，可是我會忘」的普遍情況下，學生可能並沒有在學後，精熟整個單元的概念。因此，莊老師建議我，不僅在教學時，要隨時審視，確認學生都懂，也必須要在學完數個單元後，先進行小測驗，掌握學生的學習狀況，避免到學期末急在弦上，才發現學生的「大問題」，而亡羊補牢的進行補強，實在有失「形成性評量」精神。

十一、為何在教學中，學生已經驗過「正誤區辨」的題目，在宜臻教授以形成性評量所設計的測驗題中，仍然有諸多錯誤？

這部分的答案，我還無法解答出來，我目前推測的幾個原因如下：

1.我的教學技巧、班級經營，影響了整體的教學成效。

2.學完一個單元後，未進行完整的複習，以致學生雖然當下學會，但因未再練習而生疏。

3.學生於教學時就不懂，只是我未發現，誤以為他們都會了。

4.教學流程有漏洞。

雖然截至目前為止，原因還在有勞宜臻教授分析中，但因為我在以「形成性評量」來進行教學，我看到孩子在「正誤區辨」時眼睛發亮的神情，熱烈討論的情景，因此我會推測「四步驟」的教學流程應該沒有問題，問題可能還是出在前三項原因的可能性較大吧！

感言

如果我能在數學教學上，多一些可喜的成長，最要感謝宜臻教授在我實習之初長達二個月的期間，到校指導。如果沒有教授費心、費時的鼓勵和指教，我真的無法在那麼樣短的時間內，看到自己教學的缺點，並再下一次課堂中進行改進。在教授的身上，我看到一位教育者對數學教育的使命感，看她為數學教育所投入的心力，讓我們真的很不捨，好想拍拍教授的肩膀說：「老師您辛苦了！健康可要照顧好哩！」有人說：「生命中的貴人就像是遇到一位人間的菩薩。」我覺得宜臻教授就像是我生命中的菩薩，讓我成長，更讓我砥礪自己須更用心於數學教育。

我的實習輔導老師－莊老師對於以「形成性評量」進行數學教學的支持令我萬分感激。我總覺得自己以一位學習者的身份，平日受輔導老師的教導，就是夠麻煩老師的了，但因為在班上實行「形成性評量」進行數學教學，我們幾乎完全自編教材的方式，讓老師可能要承擔點「風險」。感謝莊老師一路的支持並不斷提供給我建議，讓我能不斷的精進。

最後要感謝我的實習好夥伴映芬、斐雯、文秀，在這段期間大家為了教案，為了共同的目標，常常在放學後還會繼續討論教學事宜。一路上我們彼此支持、成長、相互打氣，總算是在對一上數學有提到的數學本質概念上，有個較完整的了解。這樣美好的合作經驗，讓我更加體會到－在教學的路上，有機會與眾人一同協同討論，進行協同教學是一件能為教學加分的事。